Berechnen Sie die folgenden (gegebenenfalls uneigentlichen) Grenzwerte unter Anwendung der Regel von de L’Hospital.
Geben Sie in jedem Fall eine Begründung dafür an, warum die Regel von de L’Hospital zulässig ist.

1. \[\lim\limits_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}\]

Berechnen Sie die folgenden (gegebenenfalls uneigentlichen) Grenzwerte unter Anwendung der Regel von de L’Hospital.
Geben Sie in jedem Fall eine Begründung dafür an, warum die Regel von de L’Hospital zulässig ist.

2. \[\lim\limits_{x \to \pi} \frac{\cos(5x) + 1}{\sin \left(\frac{x}{2} \right) - 1}\]

Berechnen Sie die folgenden (gegebenenfalls uneigentlichen) Grenzwerte unter Anwendung der Regel von de L’Hospital.
Geben Sie in jedem Fall eine Begründung dafür an, warum die Regel von de L’Hospital zulässig ist.

3. \[\lim\limits_{x \to \infty} \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right)e^x\]

Berechnen Sie die folgenden (gegebenenfalls uneigentlichen) Grenzwerte unter Anwendung der Regel von de L’Hospital.
Geben Sie in jedem Fall eine Begründung dafür an, warum die Regel von de L’Hospital zulässig ist.

4. \[\lim\limits_{x \to 0} \frac{1}{\tan(x)} - \frac{1}{x}\]

Gegeben sei die Funktion \(f_a: \R \to \R\) mit \[\begin{align*} f_a(x) &= \begin{cases} x^a \sin\left(\frac{1}{x}\right), & \text{für } x \neq 0,\\ 0, & \text{für } x = 0. \end{cases} \end{align*}\]

1. Zeigen Sie für welche Werte von \(a \in \R\) die Funktion \(f_a\) einfach stetig differenzierbar ist und bestimmen Sie die Ableitung \(f_a'\) für diese Werte.
   Untersuchen Sie also zunächst, ob \(f_a\) stetig und differenzierbar ist, und zeigen Sie anschließend, dass \(f_a'\) stetig ist.

Gegeben sei die Funktion \(f_a: \R \to \R\) mit \[\begin{align*} f_a(x) &= \begin{cases} x^a \sin\left(\frac{1}{x}\right), & \text{für } x \neq 0,\\ 0, & \text{für } x = 0. \end{cases} \end{align*}\]

2. Berechen Sie den Grenzwert \[\begin{align*} \lim_{x \to 0} \frac{f_a(x)}{x^2}. \end{align*}\] Verwenden Sie dafür den Satz von de L’Hosptial genau einmal. Für welche Werte von \(a \in \R\) sind die Voraussetzungen erfüllt?

Bestimmen Sie jeweils eine explizite Formel für die \(n\)-te Ableitung der Funktionen \(f\). Zeigen Sie, dass diese Formel für alle \(n \in \N\) gilt.
Ermitteln Sie anschließend die Taylorreihe \(T[f,0](x)\) um die Stelle \(x_0=0\).
Vereinfachen Sie die Reihenglieder dabei so weit wie möglich.

1. \(f : \R\setminus \{4\} \to \R\) mit \[\begin{align*} f(x) &=\frac{x}{4-x} \end{align*}\]

Bestimmen Sie jeweils eine explizite Formel für die \(n\)-te Ableitung der Funktionen \(g\). Zeigen Sie, dass diese Formel für alle \(n \in \N\) gilt.
Ermitteln Sie anschließend die Taylorreihe \(T[g,0](x)\) um die Stelle \(x_0=0\).
Vereinfachen Sie die Reihenglieder dabei so weit wie möglich.

2. \(g : \R \to \R\) mit \[\begin{align*} g(x) &= xe^x. \end{align*}\]

Für beliebige \(a \in \R, n \in \N_0\) definieren den allgemeinen Binomialkoeffizienten wie folgt: \[\begin{align*} {a \choose n} := \prod\limits_{i = 1}^n{\frac{a - i + 1}{i}} \end{align*}\]

1. Sei \(a \in \R \setminus \Z\). Zeigen Sie, dass für \(f:\R \to \R\) mit $ f(x) = (1 + x)^a$ \[T[f,0](x) = \sum\limits_{k = 0}^\infty{a \choose k}x^k\] gilt, indem Sie zunächst einen allgemeinen Ausdruck für \(f^{(n)}(x)\) herleiten.

Für beliebige \(a \in \R, n \in \N_0\) definieren den allgemeinen Binomialkoeffizienten wie folgt: \[\begin{align*} {a \choose n} := \prod\limits_{i = 1}^n{\frac{a - i + 1}{i}} \end{align*}\]

2. Wir betrachten die Funktion \(g:(-1,1)\to \R\) mit \[g(x) = \sqrt{1 + x}.\] Bestimmen Sie, unter Ausnutzung von (a), das Taylorpolynom \(T_5[g,0](x)\). Der allgemeine Binomialkoeffizient muss dabei jeweils ausgerechnet, bzw. möglichst weit vereinfacht werden.
   Hinweis: Sie dürfen ohne Beweis annehmen, dass \(f(x) = T[f,0](x)\) für \(|x| < 1\) gilt.