Globalübung Mathematik für Informatik 2

Übungsblatt 11: Integrale

Sven Wagner

Lehrstuhl für Computergraphik, TU Dortmund

Sommersemester 2026
🚀 by Decker

Aufgabe 1: Integrale I

  1. Bestimmen Sie die folgenden Integrale:

    1. \[\int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos(3|x|) \, \mathrm{d}x\]

Aufgabe 1: Integrale I

  1. Bestimmen Sie die folgenden Integrale:

    1. \[\int\limits_{0}^{1} \sqrt{x\sqrt{x}} \, \mathrm{d}x\]

Aufgabe 1: Integrale I

  1. Bestimmen Sie die folgenden Integrale:

    1. \[\int\limits_2^4 |x^2 - 4x + 3| \, \mathrm{d}x\]

Aufgabe 1: Integrale I

  1. Bestimmen Sie die folgenden unbestimmten Integrale unter Ausnutzung von Polynomdivisionen und Partialbruchzerlegungen.
    1. \[\int \frac{2x+3}{x^2-4x + 3} \, \mathrm{d}x\]

Aufgabe 1: Integrale I

  1. Bestimmen Sie die folgenden unbestimmten Integrale unter Ausnutzung von Polynomdivisionen und Partialbruchzerlegungen.
    1. \[\int \frac{3x^2 - 5x + 1}{x^3 - 4x^2 + 3x} \, \mathrm{d}x\]

Aufgabe 2: Integrale II

  1. Bestimmen Sie die folgenden Integrale durch geeignete Substitutionen.
    1. \[\int\limits_0^1 \frac{2e^{2x}+3e^x}{e^{2x}+3e^x-3}\,\mathrm{d}x\]

Aufgabe 2: Integrale II

  1. Bestimmen Sie die folgenden Integrale durch geeignete Substitutionen.
    1. \[\int\limits_0^1 \frac{x}{1+\sqrt{2x+1}} \, \mathrm{d}x\]

Aufgabe 2: Integrale II

  1. Bestimmen Sie die folgenden Integrale durch geeignete Substitutionen.
    1. \[\int\limits_1^2 \frac{\ln(x^2+x)(2x+1)}{x^2+x} \, \mathrm{d}x\]

Aufgabe 2: Integrale II

  1. Bestimmen Sie die folgenden Integrale durch partielle Integration.
    1. \[\int (x-2)^2 \cos(x) \, \mathrm{d}x\]

Aufgabe 2: Integrale II

  1. Bestimmen Sie die folgenden Integrale durch partielle Integration.
    1. \[\int e^{-x}\sin(2x) \, \mathrm{d}x\]

Aufgabe 3: Integrale, Taylor und Pi

  1. Auf einem früheren Übungsblatt haben Sie gezeigt, dass für die Ableitung vom Arcustangens gilt \[\begin{align*} \arctan'(x) = \frac{1}{x^2 + 1}. \end{align*}\] Nutzen Sie das Ergebnis von Blatt 9 Aufgabe 4a, um die Taylorreihe der Ableitungsfunktion \(T[\arctan',0](x)\) anzugeben und bestimmen Sie damit durch Integration die Taylorreihe \(T[\arctan,0](x)\). Sie dürfen ohne Beweis annhemen, dass die Taylorreihe für \(|x| \leq 1\) gegen die Arcustangensfunktion konvergiert.

    Bestimmen Sie damit eine Abschätzung von \(\pi\), welche die erste Nachkommastelle festlegt. Wie viele Reihenglieder benötigen Sie?

Aufgabe 3: Integrale, Taylor und Pi

  1. In Beispiel 6.35 haben wir bereits gezeigt, dass \(\int\limits_{-1}^1 \sqrt{1 - x^2} = \frac{\pi}{2}\) gilt.
    Hier nutzen wir nur einen Teil des Integrals: \[A := \int\limits_{0}^\frac{1}{2} \sqrt{1 - x^2} = \frac{\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{8}.\] Bestimmen Sie unter Ausnutzung von Blatt 9 Aufgabe 4b das Taylorpolynom \(T_{10}[\sqrt{1 - x^2},0](x)\), berechnen Sie damit eine Näherungslösung für \(A\) und geben Sie die daraus resultierende Näherungslösung für \(\pi\) an (sechs Dezimalstellen sind ausreichend).

Aufgabe 4: Uneigentliche Integrale

  1. Seien \(f,g : \R \rightarrow \R\) stetige Funktionen mit \(0 \leq g(x) \leq f(x)\) für alle \(x \in \R\). Beweisen oder widerlegen Sie die folgende Aussage:
    Wenn das uneigentliche Integral \(\int\limits_a^\infty f(x) \mathrm{d}x\) existiert, so existiert auch das uneigentliche Integral \(\int\limits_a^\infty g(x) \mathrm{d}x\).
    Hinweis: Sie dürfen ausnutzen, dass für monotone und beschränkte Funktionen \(h : \R \rightarrow \R\) der Grenzwert \(\lim_{x \to \infty} h(x)\) existiert.

Aufgabe 4: Uneigentliche Integrale

  1. Beweisen oder widerlegen Sie die Existenz der folgenden uneigentlichen Integrale
    1. \[\int_2^{\infty} \frac{1}{x \ln(x)^2} \mathrm{d}x\]

Aufgabe 4: Uneigentliche Integrale

  1. Beweisen oder widerlegen Sie die Existenz der folgenden uneigentlichen Integrale
    1. \[\int_{-\infty}^{\infty} 2xe^{x^2} \mathrm{d}x\]

Aufgabe 4: Uneigentliche Integrale

  1. Beweisen oder widerlegen Sie die Existenz der folgenden uneigentlichen Integrale
    1. \[\int_1^{\infty} \frac{(\sin x)^2}{x^2} \mathrm{d}x\]